Nirvana im Kontinuum a la Banach-Tarski
Das Kontinuum der Zeit. Das Kontinuum schlecht hin. Ich kann nicht umhin euch mit einem Paradoxon zu konfrontiern/quaelen/langweilen dass fuer mich ein absolutes "aha" Erlebnis darstellte. Auch wenn ich es jetzt durchdrungen und somit enzaubert habe ist es doch immer noch magisch und inspirierend. Das ist uebrigens ein weiteres Kriterium einer wie auch immer gearteten Theorie der Welt. Neben praediktiver Kraft, angemessener minimaler Komplexitaet muss sie uns auch inspierieren, sie muss uns zum traemen anregen, bilder, bunte bilder in unserem kopf erzeugen, sonst wird sie nicht weitergedacht. auch wir erwachsene brauchen traeume und maerchen, sogar in der Wissenschaft.Aber zurueck zu dem Paradoxon. Es wurde 1924 von Banach und Tarski vorgestellt und besagt das Folgende. Stellte Euch eine Kugel vom Radius 1 im kontinuierlichen 3 dimensionalen Raum vor. Das Modell des Kontinuums sind die reellen Zahlen bzw das 3 fache kartesische Produkt derselben, eine Zahl/Koordinate fuer jede Richtung im Raum. Banach und Tarski konnten diese Kugel in zwei disjunkte Mengen A und B zerlegen, will heissen, jeder Punkt der Kugel gehoert zu genau einer der beiden. Jetzt konnten sie jede dieser Mengen im Raum verschieben und drehen, nichts anderes, nur herumgeschiebe und gedrehe, aber so geschickt dass am Ende dieser Operationen, oh Wunder, 2 Kugeln entstanden. Waerend dieser ganzen Bewegungen ueberschnitten sich die Mengen nie und am Ende aus 1 mach zwei. Das ist schon ein Zaubertrick fuer sich alleine, wir erinnern uns, nur Verschiebungen und Rotationen sind erlaubt. Aber es kommt noch dicker: die beiden Kugeln, hat jede fuer sich am Ende den Radius 1! Die beiden Kugeln haben somit am Ende zusammen das doppelte Volumen als die urspruengliche Kugel.
Wie ist das moeglich? Irgendwie haben aus dem Nirvana Masse abegesaugt, obwohl wir doch nur ganz harmlos Mengen von Punkten, die zummen mal eine Kugel ergaben im Raum herumgeschoben und gedreht haben. Keine Dilatation war mit im Spiel, keine wie auch immer geartete Deformation. Das ist echte Hexerei!
Ich gebe zu, schon das Paradoxon als solches zu verstehen ist nicht ganz trivial. Noch weniger ist seine "Entzauberung" zu verstehen [will das jemand wissen?] Das Kontinuum, so einfach dahergesagt, hat eben ueberraschende Geheimnisse, wie immer, wenn wir das unendliche dem menschlichen Geist zugaenglich machen wollen. Das ist die Seele der Mathematik, das unendliche.... .
So wie ein preussischer Ofizier dreimal lacht, wenn man ihm einen Witz erzaehlt (das erste mal, wenn man ihn erzaehlt, das zweite mal, wenn man ihn erklaert und das dritte mal, wenn er ihn versteht) so hat auch diese Paradoxon drei Stufen der Erkenntnis. Die erste, es zu hoeren, die zweite, es als Paradoxon zu verstehen und die dritte es zu entschluesseln.
durchgelesen, und muss schon sagen, wie es sich fuer ein JC-Hoch-IQ Forum gehoert: hier wird schon so einiges hirnmaessig masturbiert!
es lohnt sich!
