Ich finde es auch etwas seltsam, dass Räumungsklage erhoben wird, bevor die Kündigungsfrist abgelaufen ist. Immerhin muss der Kläger einen Gerichtskostenvorschuss zahlen und das können schon ein paar hundert Euro sein, die er am Ende vielleicht selbst tragen muss, wenn die Klage unnötig war, weil du freiwillig fristgerecht ausziehst.
Wie lange so etwas dauert ist sehr unterschiedlich. Ein paar Wochen, einige Monate, kommt drauf an.
Es wird auch nur geprüft, ob Eigenbedarf besteht oder nicht. Da wäre vielleicht wichtig, dass der Eigenbedarf in der Kündigung selbst genau dargelegt sein muss. Also nur „Hiermit kündige ich wegen Eigenbedarfs“ reicht nicht. Es muss z. B. drin stehen, wer genau einzieht. Fehlt die Angabe, ist die Kündigung unwirksam. Man kann die Gründe nicht nachträglich ergänzen. Der Vermieter muss dann neu kündigen und die Frist läuft auch von Neuem. Im Übrigen: Wenn die Kündigung am 25.04. zugeht, dann läuft die Kündigungsfrist bis 31.07. Eigenbedarf ist kein Grund für eine fristlose Kündigung.
Besondere Härten werden im Räumungsklageverfahren nicht berücksichtigt, die kannst du in der Vollstreckung geltend machen, aber Kinder oder Hunde und der Umstand, dass keine andere Wohnung zur Verfügung steht, sind kein Grund für irgendeinen Aufschub.
Ich würde mich eventuell auch an das Wohnungsamt wenden. Da gibt es bestimmte Dringlichkeitsstufen für die Vermittlung von Sozialwohnungen, wenn Obdachlosigkeit droht. Vielleicht nicht schön, aber immer noch besser als die städtische Notunterkunft.